仅这种意义上说，他讨论的东西多少有点过时。可是，科学与时装不同，它并不赶时髦。科学与技术不同，它不能只把最新的拿来就行。科学，尤其是数学，它的过去对我们今天仍有重大意义。M·克莱因就是在一种充满新解的不确定性的世界中探讨这种老掉牙的确定性的丧失。当代玩电脑、上网络的青年，读这本书有点像中学生听爷爷奶奶讲反右、三年困难乃至文革等等。然而，只有他们理解历史，也许才能成长，才能成熟，才能理解现在和未来。

　　M·克莱因已经在1992年去世。他生于1908年，是位应用数学家，长期在纽约的应用数学中心——著名的库朗研究所工作。他研究的是电磁场的数学物理学，这在物理学和数学中都是经典的，也是最确定的科学。可是知道他应用数学的工作的人并不多，他的大名实际上是靠他的数学史及数学概述的著作。国内有些人知道他可能完全靠他那1200页的巨著《古今数学思想》的中译本。这本书概述了从古到1930年左右的数学史，可能在它1972年出版之后50年到100年难找到更好的竞争者。对于一位应用数学家，这种历史的渊博实在令人吃惊。他还写过《西方文化中的数学》(1953)，《数学与物理世界》(1959)，《数学与知识的探求》(1983)等著作。这些书在西方都拥有庞大的读者群。

　　他写《数学：确定性的丧失》时，已经是70高龄了，我们当然不能指望他对当时的时髦课题有所涉及，更不必提对今后的展望了。我们指望他把这个经典课题写好，在这个题材范围之内，他的确讲述得十分精采。

　　《数学：确定性的丧失》一书除引言外，共有15章，可以分为三个部分：前3章是第一部分，讲数学真理的起源、数学真理的繁荣和科学的数学化；中间9章是论述数学确定性丧失的各个方面，首先从第一场灾难，真理的丧失讲起，其实是非欧几何冲击欧氏几何的绝对权威，其次4章是讲逻辑学科不合逻辑的发展：无理数的发现及数的扩张(负数、虚数)，很难找到逻辑基础。接着是微积分带来的分析的困境，由此导致19世纪对分析严密性的怀疑和批判，最后达到19世纪末分析的严格化，好像走进了天堂之门。第9到12章讲进入天堂后数学面临更大的危机。由于集合论悖论和其它逻辑悖论的出现，数学面临第三次危机，对数学基础进行一场大辩论，逻辑主义、直觉主义、形式主义各派提出了各自的观点来解决基础危机。然而，1930年哥德尔不完全性定理的发表把危机推向高潮，作者以“灾难”一词，结束了他关于确定性丧失的论述。他把自己的论述，停留在1930年的时点，然后，就完全以悲观的论调进入第三部分，第13、第14、第15章。他的观点可由这三章的标题看出来，“数学的孤立”，“数学向何处去”，“自然的权威”。在这里我们又看到他作为应用数学家的身影。他的观点很明确——走回头路，让数学回到经验，回到自然，重视应用，去掉那种孤芳自赏的抽象、推广、存在性的证明以及严格性的探讨，至少要把它们压缩到最低限度。

　　作为历史家和作家，他的论述深入浅出，十分生动，笔者认为非常值得推荐给希望提高自己的数学素养的读者阅读。但是，他的哲学论点和数学观却未免过时。诚然，1930年以后仍然不断地有关数学哲学和数学基础的论述，甚至到90年代中期还有关于“理论数学”的一场大论战，可是有多少人关心它，它又对数学及科学的发展有多大影响呢?

　　到底我们如何看待克莱因所说的数学的不确定性呢?笔者以为，1930年以后的发展的确会给我们一些启示。事情决不像克莱因想像的那么悲观。实际上，原来我们可以控制的那部分数学仍然是确定的。正如人们常说2×2永远等于4，这是颠扑不破的真理。可是，数学发展有赖于把已知的事实推向未知，把特殊的结果推向一般。数学中的这种推广，特别是把有穷推广到无穷，总是带来确定性的丧失。这是贯穿整个数学史的一条红线。在这种情况下，必定产生我们的方法是否合理、是否严格的问题。对此，历史上常常有两种极端的态度：一种是保守的态度，也就是固定不变的原教旨主义，一种是激进的态度，也就是向前看，不断推广，不断革新。前者虽然保险，但无助于发展数学，后者总是冒风险，免不了带来一个又一个矛盾，这就是确定性的丧失。从历史上看，后者总是取得胜利，它不仅使我们开创出前所未有的大量数学，而且通过矛盾的发现和化解，使我们更深刻地认识我们能力或我们方法的限度，并且对开辟的新领域进行方法上的开发。欧氏几何向非欧几何扩展的历史正好说明这点。非欧几何的出现不仅结束了欧氏几何是唯我独尊的绝对几何的局面，而且列举了“所有可能的”几何，这样使得数学由一门自然科学或物理科学真正转变为模式或形式科学。不仅如此，它还使我们空间观念大为变革，并为相对论的发展提供有效的方法和工具。

　　哥德尔不完全性定理打破希尔伯特纲领的美梦。他明显地区别开真理性和可证明性。他造出一个数论真命题在一个包含初等算术的公理系统中不能证明。可是他的命题并不是一个自然的数论或数学命题。到70年代和80年代，的确有人证明一些自然的数论问题和组合问题在初等算术系统中是不能证明的。

　　1930年以后，虽然数学基础的讨论仍在进行，可是大多数数学家对此并不关心。正如狄奥多涅所说：“没有什么人对数学基础问题感兴趣，除非他专搞那一行。”就连数理逻辑也成为数学的一门独立的分支，发展成证明论、模型论、公理集合论和递归论四大块，成为十分专门的领域；它们的发展直接推动数学尤其是计算机科学的发展。特别是可计算性理论和图灵机更是当代计算机时代的理论基石，而且由于数理逻辑的发展，使用数理逻辑方法解决了不少数学问题，由“不确定性”得出确定性的结果。另一方面，由于数理逻辑的方法，我们也知道了“确定性”的界限。例如希尔伯特在1900年提出的著名的23个问题，其中第10问题就是是否有一个判定方法判定丢番图方程是否有解。1970年已经证明这个问题的答案是否定的。这当然也是一个“不确定性”的结果。可是进一步研究指出，一次、二次丢番图方程是否有解是可以判定的，但四次和四次以上丢番图方程则不可决定。因此当前一个未解决大问题是3次丢番图方程的判定问题。

　　哥德尔不完全性定理也对作为数学基础的集合论提出挑战。在通用的公理集合论ZF中，希尔伯特第1问题也就是连续统假设CH是否成立，结果是CH在ZF中既不能证明也不能反证，这样就出现“不确定性”。对于希望进一步有“确定性”的数学家，如哥德尔，就提出哥德尔纲领，他希望加进一些“大基数公理”，使得原来不确定的问题有一个确定的解答。对于形式主义数学家，如柯恩，就提出非欧几何式的方案，把CH作为公理，加进ZF的集合论称为康托尔集合论，而把CH的否定作为公理加进ZF的集合论，就称为非康托尔集合论。非康托尔集合论又可以分许多种，这样使数学大大丰富起来。不管怎么样，“不确定性”都不是一件坏事。

　　M·克莱因在把确定性丧失看成灾难之后，又在最后三章深挖原因，认为这是由于数学的孤立，特别是同经验和自然的脱离。遗憾的是，无论从逻辑上讲，还是从历史上讲，情况都不是这样。18世纪之前，特别是科学革命时期，数学与科学的发展的确互相促进，相得益彰。到了19世纪之后，由于数学领域的扩展，数学与自然科学，纯粹数学与应用数学有着某种程度的分离，而且专业化也日益明显，数学也逐步发展成其有自己独特的对象，独特的理论与独特方法的学科。谁也不否认，归根结底，数学的对象来源于现实世界。但是，从这时起，由最原始的对象经过抽象、推广(一般化)、公理方法等产生出丰富多彩的数学对象和理论分支，如集合论、群论、抽象代数、拓扑学、泛函分析等等，它们都走上独自发展的道路，看来与自然科学和社会实际脱离越来越远，而且从外行人看，真不知搞的什么名堂。

　　然而，从70年代起，正是这些现代的数学在物理学与其它科学上又大有用武之地。从70年代杨(振宁)—未尔斯场与微分几何和拓扑建立了联系之后，孤立子解与代数几何也建立密切关系。整个纯粹数学和理论物理形成一个大统一的局面，数学物理之间的密切关系远远超过经典的数学和物理学。例如量子场论与算子代数与扭结理论相互推动，继而又产生量子群等热门理论。到90年代，超弦理论与拓扑学、代数几何等前沿数学相结合，成为四种力的统一理论的最佳候补者。按照弦论，我们的时空不只四维，而是十维，除了可感到的四维之外，还有六维是所谓代数三维簇，现在称为卡拉比—丘(成桐)流形，这种流形现在是当前一大热门。它有成千上万种，分类问题极为困难，但这也显示我们的宇宙有可能多么丰富多彩。然而，没有数学理论，永远无法探索到自然界的如此奥妙。其实，从20世纪初期，数学已经不是科学的婢女了，它由数学自身的问题出发，早已经为物理学的革命理论——广义相对论，量子物理学，分子原子结构，核物理，基本粒子物理，准备好现成的数学工具，它们分别是黎曼几何学、泛函分析和群论。时至今日，几乎整个的抽象数学，特别是拓扑学、代数几何学、代数数论，动力系统理论等等，都在应用上发挥着不可或缺的作用，数学正在成为科学发展的带头羊。而这都是在数学的确定性不断丧失、数学学科日益孤立的发展情况下产生的。M·克莱因的悲观是毫无根据的。

反观数学基础，困难仍然存在，危机并未消除。不过，本书所讲的这种有3000年历史的最古老的不确定性并没有挡住我们前进的步伐，我们又何必为有朝一日数学大厦可能倒塌而杞人忧天呢。数学中确定性丧失的历史只告诉我们，数学确定性并非是完全是绝对的确定性，而在多数情形下是一种相对的确定性。但这同物理学的相对确定性还不一样，物理世界或现实世界出了问题，例如地球遭到小行星碰撞，在想到其它办法之前，也许只有等死。而数学却是关于可能世界的科学，某些地方出了问题，数学家总会想出办法来解决它。历史可为我作证，对此，M·克莱因的书非常值得一读。