他们为什么会痴迷于“无用的数学”?数学之美
发布时间:2021-12-28
出品:科普中国
制作:黄逸文
监制:中国科学院计算机网络信息中心

  上一期我们感受了“有用的数学”(https://mp.weixin.qq.com/s/2zjZ7P1SA4-ViNG4uPLFMg),不过,也有一些数学家似乎一直在做“无用”的研究,比如以理论研究为主的基础数学家。

那些著名的“无用”研究

  基础数学家的世界是一个充满理性和纯真的乐园,是一片用思想和才华打造的殿堂。每个投身于基础研究的数学家,都在用生命建造属于自己的精神大厦。

  只是,尽管这片乐土的大门对所有人敞开,但如此美好的精神世界却没有让大多数人趋之若鹜。一方面,基础数学准入的门槛较高,容易让造访者产生深深的挫败感;同时,基础数学栖身的理想王国和现实世界的割裂也影响着一代又一代人的抉择。如果我们近距离观察基础数学家彼此之间交流的术语以及他们为之深深着迷的问题,不难发现,他们与公众似乎生活在两个平行的世界

1.哥德巴赫猜想

  “任一大于2的偶数都可写成两个素数之和……”这个1742年由德国数学家哥德巴赫提出的猜想,像幽灵一样困扰着后世无数杰出的数学家。

  迄今为止,在这个问题上取得最重大成果的中国数学家陈景润,因为徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》而声名远播但令人意想不到的是,陈景润的个人形象也被世人视为数学家的标签

  

  位于厦门大学的陈景润铜像(图片来源:Wikipedia

  作为科学家勇攀高峰的典型,陈景润的故事感动了一代又一代中国人公众很难理解他的研究成果和研究意义。我们经常看到“证明‘1+1=2’有什么用?”这样的质疑,甚至,不少人直接将“哥德巴赫猜想”误解为“证明‘1+1=2’”这样的问题。

  人们津津乐道的是陈景润身上的矛盾感,有能研究顶级数学难题的超常智慧却缺乏基本的生活常识,在艰苦恶劣的环境中仍然不忘初心地积极奋斗。但是,在这样的过程中,公众不自觉地形成了对陈景润、对哥德巴赫猜想、甚至对数学家群体的深深误解。

  数学家们丰富的智慧内核、不屈的奋斗精神,已经部分浓缩为这样一个标签:数学家是这样的一群人,他们用顶级的聪明才智为无用乃至无聊的研究浪费才华,同时,他们不食人间烟火,不问世间俗事。

  【一个热知识】

  哥德巴赫猜想:任何一个大于2的偶数,可以分解为两个数之和。其中一个是质数,另外一个也是质数。

  关于陈景润完成的工作,可以看这里:https://mp.weixin.qq.com/s/68K3L_pD7xfobr_jA1QgWA

2.42”

  2019年,被誉为宇宙终极密码的“42”被数学家破译了。

  这是一个类似数学游戏的接力赛。数学家猜想:除了9n±4型的自然数以外,所有100以内的自然数都能写成3个整数的立方和。比如:

  

  图:1296都能写成3个整数的立方和

  9n±4型自然数指的是像451314这样的数,在100以内一共有22个。数学家们经过艰苦卓绝的努力,已经找到了除42以外的所有非9n±4型自然数全部满足以上的猜想。唯有42一直无法得到肯定或者否定的解答,甚至有人认为42就是不可能被破译的终极密码,因此它被数学家戏称为“宇宙的真理”。

  直到2019年,数学家们终于发现:42真的可以写成三个整数的三次方之和。

  

  图:42可以写成3个整数的三次方之和

  惊讶、不解、困惑甚至眩晕的感觉再一次袭击了公众脆弱的神经。让众多数学家绞尽脑汁、茶饭不思的问题难道真的就是一个数学游戏吗?他们的聪明才智难道仅仅是为了给人们提供茶余饭后的谈资吗?数学家,究竟是纯真还是无聊?

3.其他

    俄罗斯数学家佩雷尔曼因为破解世界七大数学难题之一的“庞加莱猜想”成为媒体口中的天才。2010年,这位天才再次展示了数学家桀骜不驯的一面:向公众宣布放弃数学界最崇高的荣誉“菲尔兹奖”和100万美金的奖赏。

  让人难以理解的是,佩雷尔曼做出这一决定的时候,他仍然过着“拮据”生活。佩雷尔曼的这一异于常人的举动,似乎再一次印证了数学家在公众心目中的印象。

  历史上,确实有不少数学家做出过类似佩雷尔曼这样的举动。被誉为“代数几何教皇”的法国数学家格罗森迪克就曾在年富力强时归隐山林。数学家的故事里,似乎总摆脱不了无用、古怪、偏执和高深莫测的色彩。

  为什么那么多数学家会选择一条甘愿被公众误解,也要“独善其身”的道路?他们为什么会痴迷的所谓的“无用的数学”?

  

  图片来源:veer图库

数学:从认识世界到认识宇宙

  以色列历史学家赫拉利在《人类简史》里提出过一个观点:人类是唯一具有想象力的生灵。正是想象力,让人类不断地迭代自己的文明进程。

  在人类文明早期,生存是第一要素。天文、历法、农作物的播种与收获、物件的计数、财富的累积都需要数学的帮助。也因此,数学天然地与人类认识和改造世界的第一步融合在一起。也是从那个时代起,人类的数学大厦从零起步,一点一点地提升高度。

  在这个过程中,数学从满足简单的计数、计算这些人类的日常需求,逐步发展到对宇宙基本原理的认识:

  远古时代人们相信天圆地方,古希腊时代人们笃信“地心说”,部分也因为数学家托勒密的大圆法几近完美地解释了太阳系内行星的运动轨迹。

  一千多年以后,文艺复兴时期的天文观测才首次发现“地心说”导致行星运动的观测偏差,由此哥白尼提出了“日心说”。在开普勒的观星数据以及他提出的“行星三大定律”的基础上,牛顿发展出的“绝对时空观”以微积分的诞生和极其精确的理论预言巩固了“日心说”的观点。

  两百多年后,为了解决麦克斯韦方程所揭示的光速恒定不变的推论,爱因斯坦提出石破天惊的“相对论”,由此更是诞生了“相对论”下宇宙的怪物:奇点大爆炸下的黑洞。与此同时,为了驱散黑体辐射的乌云,普朗克闯入了“量子力学”的幽灵之门。

  时至今日,弦论所引发的多维宇宙、平行宇宙的概念,更是打开了科技王国的“潘多拉魔盒”。

  

  图片来源:veer图库

  人类始终在尝试着去揭开宇宙的奥秘,并一步步走到了今天。每一次宇宙观的进步和颠覆,都让人类更加接近宇宙的终极真理。每一次观念的跃迁,数学都在其中起到了至关重要的作用。但如果人类穿越回任何一次科技巨变史的前夜,人们依然会认为彼时的数学不过是贵族们无用的游戏。直到有一天,这些被昔日的思想巨匠创造出来的数学工具和思想,为人类开启一扇又一扇认识世界的全新之门。

  数学家的兴趣和使命之一,就是探寻世界最基本的秩序和规律,诠释背后的原理,同时为现实世界的复杂现象,找到最简单和本质的应对策略。令人惊异的是,自然科学的突飞猛进,往往受益于数学理论的先知预言。

“无用”终将“有用”

  进入二十一世纪,越来越多的数学理论成果开枝散叶,很多早期被认为“无用之用”的分支,今日早已成为现代科技最强有力的工具,成为现代科技发展的澎湃动力。曾经被人们束之高阁而偏安一隅的数学研究正化作人们手中的利器,在探索物质世界的途中披荆斩棘,更为人们提供越来越多的思想动力和创造源泉。

  微积分的诞生开启了牛顿机械宇宙观的宏伟时代。人们惊奇地发现:原来浩瀚无垠的宇宙并不神秘,外部空间的物质和现象与我们居住的行星在最深的层面一脉相承。即使隐匿在宇宙深空的天体,其运动的规律都遵循着同样的法则。自此之后,牛顿力学成为打开科技宝藏的钥匙。基于其原理所发明的蒸汽机和发动机更是直接点燃了第一次工业革命的烈火。

  

  图片来源:veer图库

  我们今日所享受的信息时代的文明,诸如电脑、手机和网络,都深深地受益于量子力学的发展。这门彻底改变人们生活的科学,却源于众多数学基础理论的馈赠:从线性代数、矩阵分析、统计学起,到数学家们为了解决五次方程求解问题而发明的群论不等。

  基于广义相对论,人们发明了突破地球引力约束的卫星,这使得天地通讯成为可能,也为深空探测、陆海导航打下了基础。人们日益频繁地出行,基于地理位置的GPS导航等等都在为我们的生活提供前所未有的便利。而让爱因斯坦流芳千古的广义相对论,其数学原理正是非欧几何(特别是黎曼几何)和张量分析的应用。

  自80年代末期,在物理理论中一枝独秀的弦论,因为其大胆和前卫的想法,深受彼时科学家的青睐。这个有望解决相对论和量子力学的大一统理论,已经逐渐在主流科学界激起千层巨浪。在弦论蓬勃发展的道路上,我们不难看到微分几何坚定的背影。

  2016年,三位物理学家分享了最高的荣誉——诺贝尔奖。他们因发现了物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而获奖。数学上艰深抽象的拓扑理论第一次也找到了用武之地。物理学家利用数学家发明的拓扑工具在理论上预测了一种特殊材质的存在。在它身上,人们能观测到匪夷所思的反常量子霍尔效应。基于该效应发现的材料,能够在常温下、无需超强磁场的协助就能自发在某个方向上呈现电阻为零的特性。这给计算机芯片的发展提供了无限广袤的空间,从此量子计算机和微型超级计算机的梦想距离我们又近了一大步。

  在理论数学家的眼中,数论是最基础、最重要的分支。这门延续了两千多年的数学主流分支已经积累了大量宝贵的精神财富。无论是哥德巴赫猜想,还是费马大定理,破译它们的过程都曾诞生过极具创造力的思想。它们的结论是那么地简洁明了,但是求索的道路上却是如此地曲折。人们也无法知道,这些智慧的结晶什么时候能为真实世界可能的困境破局。

  幸运的是,基于数论的RSA算法等已经在金融体系、互联网安全、网络购物、移动支付乃至国防事业里构筑坚固的安全防线,而基于费马大定理发明的椭圆曲线更是通过区块链技术等等,不断造福当今的世界。而一旦量子计算机和量子密码中的关键技术成功问世,人类必将跨入一个崭新的时代。

  

  IBM Q System One,世界上第一台商用量子计算机

  (图片来源:Wikipedia

  在这片基础数学家栖身的乐土里,隐藏着无数可能对后世影响深远的发明和福祉。历史已经证明,很多重大的发明创造都起源于数学家不经意间在历史上留下的理论财富。数学家在理论层面的突破创新,正是在为后人改造现实世界提供原创的思想工具。

  数学家,并不是人们想象中的那样离群索居,他们普遍拥有沉稳的内在品格,比如纯粹、谦逊、坚毅、孜孜不倦,还带着对科学的敬畏。他们甘愿在喧嚣的财富盛宴里栖居一角,继续为寻找世间普适的真理贡献毕生的聪明才智。

  读到这里,想必你已经理解了数学家的追求,不过你知道吗,他们的思想乐园也是很“艺术”的。

  下一期,我们带你去看看。

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