为什么把数学作为一种文化来研究，而不是只把它局限于科学的范畴呢？一是因为文化的含意比科学更广泛。蔡元培说，“文化是人生发展的状况”，胡适说，“文明是一个民族应付他的环境的总成绩，文化是一种文明所形成的生活方式。”文化涵盖所有科学，而数学具备这种广泛的涵盖性，既表现在它的原创性方面，也表现在它的应用性方面。数学影响其他的东西，感化和支配别的东西，它具备了“大文化”概念所具有的“真”(真理化)、“美”(艺术化)、“善”(道德化)，体现了一种精神的显现。数学作为文化，还在于它表现了一种前所未有的探索精神、创新精神，它的理性思维的功能发挥得淋漓尽致，它提供给人们的不仅仅是思维模式，同时又是一种有力的解决问题的工具和武器，既反映了思维上的合理性和价值趋向，又拓展了人们的思想解放之路，因为数学常常是自己否定自己的。作者通过多年研究，深感数学作为一种重要的社会文化，在推动社会进步、提高人类素质等方面具有其他学科无法替代的作用。本文仅从以下方面扼要叙述，以就教于万家。

一、数学文化的学科观

没有任何一种科学能像数学这样泽被后人。爱因斯坦在谈到数学时说：“数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”[1] M·克莱因说：“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。”“实际上，在现代经验科学中，能否接受数学方法已越来越成为该学科成功与否的主要判别标准。”[1 ]……

早在1959年5月，著名数学家华罗庚就在《人民日报》上发表了"大哉数学之为用”的文章，精彩地论述“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”等方面，无处不有数学的重要贡献。中国科学院数学物理学部由王梓坤先生起草的《今日数学及其应用》课题中，特别强调了数学的贡献，他说：“数学的贡献在于对整个科学技术(尤其是高新技术)水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能全面比拟的。”[2 ]

1.“数学”是什么？

数学是什么？迄今为止，众说纷纭，莫衷一是。

英国的罗素说：“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”而法国的E·波莱尔则提出另一个与其针锋相对的说法：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”两者各执一词，不能说没有道理，但罗素的定义似乎陷入了虚无主义的态度。

关于“数学”是什么，大概有以下说法：

　　（1）万物皆数说“万物皆数”的始作俑者是毕达哥拉斯，他说：“数统治着宇宙”。这一说法在长时间内得到不少人的赞同。苏格拉底甚至强调，学习数学是“为了灵魂本身去学”。柏拉图称“上帝乃几何学家”，他在自己学园门上写着：“不懂得几何学的不得入内。”

　　（2）哲学说自从古希腊人搞哲学开始，数学就成为哲学问题的重要来源。古希腊的大哲学家几乎都是大数学家，这就难怪为什么他们比较容易从哲学上来定义数学。亚里士多德说：“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数学，但他们却把数学和哲学看作是相同的。”

　　对数学给予哲学的定义，首推欧几里得，欧氏在《原本》中对数学的定义几乎都是从哲学方面提出的。比如：

　　点是没有部分的那种东西；
　　线是没有宽度的长度；
　　直线是同其中各点看齐的线；
　　面是只有长度和宽度的那种东西。
　　……
　　⒂圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的所有直线彼此相等。
　　……
　　牛顿在其《自然哲学之数学原理》第一版序言中曾说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来。”罗素则更直接，他说：“为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，且要成为一个好数学家。”他把数学的素养作为创造健康哲学的基本条件。
　　（3）符号说数学被人们普遍公认为是一种高级语言，是符号的世界。伽里略的一段话流传颇广，即“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。”

　　（4）科学说此说认为，数学是一门科学。“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。”(G·Ｆ·高斯)“数学是科学的大门和钥匙。”(培根)“数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己”(赫尔巴黎)。

　　（5）模型说把数学定义为模型古已有之。怀特海认为：“数学的本质就是研究相关模式的最显著的实例”。约翰逊·格伦说：“数学为逻辑提供了一个理想的模型，它的表达是清晰的和准确的，它的结论是确定的，它有着新颖和多种多样的领域，它具有增进力量的抽象性，它具有预言事件的能力，它能间接地度量数量，它有着无限的创造机会……”雷尼说：“甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况。”

　　除以上这些说法之外，还有很多，比如创新说、工具说、审美说、逻辑说、直觉说、结构说、集合说、活动说、艺术说，但不管哪种说法，都很难用一句话把数学说全，这可能就是数学异于其他科学而作为文化的最主要的特点，数学是属于世界的，它几乎无所不有。

　　2.关于数学文化的学科体系

数学文化的体系框架是什么？或者说它的支撑点是什么？作者在这里提出现实世界、概念定义和模型结构的数学文化的“三元结构”，三者缺一不可。数学起源于现实世界，特别是现实世界中发生在人与自然之间的诸多问题，是数学科学的基础。人们通过对现实世界的大量观察以及对这些问题间相互关系的了解，包括借助经验的发展，经过类比、归纳，当然其中有逻辑的、也有非逻辑的，进而抽象出概念(包括一些定义或公理)。

概念定义是理性了的东西。定义、公设、定理，从根本上讲，比较真实地反映了现实世界的诸多关系和内容。比如，欧氏几何的定义、公设、定理，2000多年来一直被人们奉为经典，就是因为它解决了人们生活实践中的问题。

　　S·麦克莱恩把人类活动直接导致的部分数学分支列了一个表。
　　计数：算术和数论；
　　度量：实数，演算，分析；
　　形状：几何学，拓扑学；
　　造型(如在建筑学中)：对称性，群论；
　　估计：概率，测度论，统计学；
　　运动：力学，微积分学，动力学；
　　证明：逻辑；
　　分组：集合论，组合论。

人类的这些不同活动不是完全独立的。它们以复杂的方式相互作用、活动。这些活动给人类提供了对象和运算，同时也导致了后来嵌入形式公理系统各种概念。数学概念的形成，是人们对客观世界认识科学性的具体体现。数学概念的抽象、归纳，实际上为建立模型奠定了基础。数起源于人类各式各样的实践活动，又从这些活动中抽象出许多一般的但又不是任意的、有确切内容和明确含意的概念，然后将这些概念应用到现实世界中去，把问题化归为一种形式结构，这就是我们讲的模型结构。模型是数学思想活的灵魂，千姿百态的模型，反映了一个精彩纷呈的世界。

事实上，相对于数学模型，有时数学对象具有一种双重意义。单就其所表现的要领以及形式结构而言，数学模型是对现实世界的对象物化了的东西，它已经不是原来的对象，不是一个真实的存在，而是一个抽象过后的产物。然而，就它蕴含的内容来看，数学概念、形式结构，又的确是客观世界的真实反映。不然：
　　为什么物体运动的牛顿力学的形式计算被证实是符合实际运动的？
　　为什么微分方程边值问题的理论性质能极适当地描述电子学、光学、机械学、流体力学、电动力学的许多现象？
　　为什么微积分对物理学和对经济学的局部极大值问题都适用？

　　所以，从现实世界中经过逻辑的、非逻辑的，化归抽象出概念、定义，然后又用这些定义、概念去梳理现实世界中的各种建构模型，去精心计算，以便给出确切的数、量、形关系。归纳、抽象、演绎、构模、计算，这就是数学的本质与魅力。

　　3.关于数学文化的外延性特点

　　数学文化外延非常宽泛，它涉及多种学科。马克思早就说过：“一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度。”近年来，特别是数学文化在人文、社会、科技进步等方面的成功渗透，更充分地证明了马克思这一论断的正确性。

　　数学与教育、数学与文化、数学与史学、数学与哲学、数学与社会学、数学与高科技等交叉的方面，都派生出一些新的学科生长点。以数学与经济学的结合为例：数学与经济学可以说密不可分，以至于在今天不懂数学就无法研究经济。在宏观经济活动中如何及时刹住经济过于繁荣，又不至于滑入灾难性的经济衰退的危险中，可从最优控制理论得到方法上的帮助。正是由于运用了控制理论和梯度法，人们求解了南朝鲜经济的最优计划模型。在微观经济中，数学的作用也极为广泛。比如在提高产品的成功率方面，若某一产品的质量是依赖于若干个因素，而这若干个因素的每个因素又都受一些条件的制约，如何挑选出最优搭配，实际上就是一个统计实验设计(SED)的问题。当今世界，运用数学建立经济模型，寻求经济管理中的最佳方案，运用数学方法组织、调度、控制生产过程，从数据处理中获取经济信息等，使得代数学、分析学、概率论和统计数学等大量数学的思想方法进入经济学，并反过来促进了数学学科的发展。今天，一位不懂数学的经济学家是决不会成为一位杰出经济学家的。1969～1981年间的13位诺贝尔经济学奖的获得者中，有7位获奖者是因其杰出的数学工作起了主要作用。其中前苏联数学家坎托罗维奇因对物资最优调拨理论的贡献而获1975年诺贝尔奖，被公认为现代经济数学理论的奠基人。Klein因“设计预测经济变动的计算机模式”而获1980年诺贝尔经济学奖。Tobin因“投资决策的数学模型”获1981年诺贝尔经济学奖。Debren获1982～1983年诺贝尔经济学奖，然而他的主要工作都反映在数学上[3]。

　　其实，除上面我们列述的许多方面，数学还广泛渗透到其他领域。有位数学家甚至断言：“只要文明不断进步，在下一个两千年里，人类思想中压倒一切的新鲜事物，是数学理智的统治”[3]。

　　二、数学文化的哲学观

自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个重要来源，为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境。古希腊时代的许多大哲学家，多数是大数学家。在他们眼里，数学与哲学是同宗同源的。数学文化的哲学观，从根本上来讲就是把数学作为一门思维学科，特别是其中的哲学思维内容以及比较具体一点的对思维。

关于哲学思维

　　（1）抽象思维抽象思维是数学文化哲学思维中最根本、最基础的内容之一，是灵魂。所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西拎出来，加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。比如人们常谈到的哥尼斯堡七桥问题，欧拉就是通过抽象，把两岸及两岛想象为四个点(因为点的大小是无关紧要的，事实上几何的点也无大小)，把七座桥想象为七条线(线的形状如何，线的宽窄都是无关紧要的，事实上几何的线也无宽窄)。这样，就成了联结四个点的七条线。通过对七桥问题的解决，发现真正的问题是“奇点”、“偶点”的问题，这就把七桥问题的最本质的东西——组合拓扑性质凸显出来了。今后凡是类似的问题，不管是七桥还是八桥、九桥都可以解决了。

抽象有多种办法来实现，比如强抽象、弱抽象、构象化抽象、公理化抽象等。

　　（2）逻辑思维数学不能完全归结为逻辑思维，但逻辑作为数学基础却始终占据着数学哲学最主要的位置。逻辑思维是整个数学科学各分支之间联结的纽带。

其一，逻辑思维可以用来检验、证明数学真理。这种检验和证明，主要是借助演绎与归纳的方法：一是通过演绎把数学真理从一般推到个别，二是通过归纳把个别推广到一般。

其二，逻辑思维使数学文化系统化、体系化、科学化。逻辑对数学来讲，有时是起一条线的串联作用，它把许多零碎的东西串起来。通过去伪存真、去粗取精、化归统一，最终形成一个抽象的、简洁的、形象的、生动优美的结构系统。罗素说过：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。”

其三，逻辑思维既可以经过归纳、演绎、推理，获得新的结果，也可以重新审视一下已有逻辑，换一种思路，进到一个新的领域中，如前面讲的非欧几何、群论等；再就是根据需要，发展或确立新的数学对象和领域。

（3）形象思维数学中的形象思维是激励人们的想象力和创造力的，它常常导致重要的数学发现。数学中的形象思维具有一般形象思维的性质与内容，但它又与一般的形象思维(专指文学艺术类)不同，它的对象是数学的内容。数学的形象思维，按照徐利治先生的意见可分为四个层次：第一层次为几何思维；第二个层次是类几何思维；第三个层次是数学思维；第四个层次是数学观念的直觉，它类似第三个层次，但这里更强调对数学观念性质、相互联系以及重新组合过程的形象化感觉，由这种形象化感觉而反映出来的直觉，是无法用逻辑思维解释清楚的，但它确实又存在着。

数学文化的形象思维，在其过程中主要借助数学想象，这种想象包括视觉想象、听觉想象和触觉想象。正如维纳所言：“就我而言，最有用的资质，乃是广泛持久的记忆力，以及犹如万花筒一般的自由的想象力，这种想象力本身或多或少会向我提供关于极其复杂的思维活动的一系列可能的观点。”

　　（4）直觉思维直觉思维是数学哲学思维中的重要内容之一。

首先，这种直觉思维是非逻辑的，不是靠推理和演绎获得的。数学的猜测和想象，都已经具有一定的非逻辑性。越是复杂的数学想象，可能越缺少逻辑。因为在逻辑苍白无力的地方，恰恰是直觉在发挥着重要的作用。直觉思维是一种很可珍贵的精神状态，它的特点就是突然出现和非预期性。这种突然出现，有时如“狂涛暴涨”一样震撼人的心灵，把人引到一种兴高采烈、眉飞色舞的境界。庞加莱曾这样说过：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处了望目标，而数学教导我们了望的本领是直觉。没有直觉，数学家就会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。直觉实际上是一种机敏的洞察力，是一种无法言传身教但又是每个数学家所必不可少的素养”。应当指出的是，数学家们的“神来”之笔及突然“顿悟”，恰恰是平时苦心经营、功夫到家后的水到渠成，是经过千锤百炼之后熟能生巧所产生出的触类旁通。诚然，由于数学直觉思维的非逻辑性、突发性等特点，很难说直觉有什么规律可循。

关于对思维

数学文化的“对思维”，并非专指矛盾的双方，实际上是指一个问题的两个方面，它集中反映在如下方面：

　　宏观与微观对于认识世界来说，哲学着眼于大范围内的宏观考虑，是望远镜，它可以无所限制地任思想自由飞翔。数学则不然，它属于精密科学，来源于实践，不像哲学那么宏观，数学对象是一些具体问题，是一门实践科学，它研究现实世界与人类经验多方面的各种形式模型的结构。数学细致入微，容易进入到一些成熟学科中，并从中获得足够丰富的营养基，拓宽自己的思路，发挥自己的作用。

　　抽象与具体哲学所涉及的问题，能够不同程度地认识和理解，但是，哲学有时往往会有这样的情况，有些问题，看起来似乎很具体，但实际上很模糊，难以驾驭和把握，有一种看似容易实则难的感觉。数学与哲学不一样，数学源于实践，但又研究抽象。数学的定义、定理、公设，是源于实践的，但又是高度抽象的。因此，能进入到数学的领地，不具有相当高的思维水准是不可能的，外行是不可能理解数学的定义、公设和公理的。比如，“点”是什么？“线”是什么？如果一个老师在黑板上用粉笔点一个“点”，再划一根“线”，那“点”和“线”又是很具体的。这时的点、线都是可视的、具体的、容易理解的。

　　证明与非证明黑格尔说：“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构的，通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质；假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。例如，两三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似。对应成比例是条件，相似是结论。数学从不先肯定“是什么”，它总是首先注重前提，然后才是结论。

　　而哲学无需证明，也无需“假设”。哲学的命题从来都是不含糊的、肯定的、唯一的。比如“世界是物质的。”“一切事物都包含着矛盾。”“物极必反”……你能说“不”吗？这些命题不要先决条件。

　　概念的约束与非约束数学依赖于客观世界，经过抽象形成自己的概念，但概念一旦形成，就有它自己的固有性质了。因此数学概念一旦形成，数学本身也就把自己制约在概念中了。比如G。康托尔和戴德金在开始建立实数理论时，本打算证明实数与自然数的对应关系，但没有想到结论是实数比自然数多，他更没有想到一小截线段上的点竟然可以和全部空间的点一一对应。集合论的每一个新发现都使G。康托尔感到吃惊。其他一些数学概念的形成，都具有同样的道理。哲学则不然，它不受概念的限制与约束。

　　有限与无限无限王国，把数学一步一步引向深入。你看：
　　为解决无限的问题，由欧氏几何产生了非欧几何；
　　为解决无限的问题，从常量到变量，产生了微积分；
　　为解决无限的问题，集合论的产生完善了数学大厦的基础；
　　……

　　正因为如此，希尔伯特说：“从来就没有任何问题能像无限那样，深深触动着人们的情感；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的理智；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。”我们可以这样考虑问题，多边形是由有限条直线段组成的，把有限化为无限，多边形就变成了一条环形的封闭曲线。

量变与质变数学是研究事物关系的模型以及对事物运动状态进行描述的科学，其中一个非常重要的本质性问题就是量变与质变的问题。比如，若一平面与一个圆锥相截，其截口的几何图形的性质就会随平面与圆锥体截面的交角不同而变化，若交角是直角，则截面是圆；若交角稍变一点(大于90°或小于90°是一个道理)，则截面是椭圆；若再变下去，当变到一个关键点时，椭圆就变成抛物线了。再比如对数曲线，它的每一个循环，都呈一种攀升的螺旋状式周期变化，我们可以看作是否定之否定的结果。

必然性和偶然性准确地给出一个大家都能接受的关于偶然与必然的哲学定义，是十分困难的。数学中的概率论，为我们科学认识必然与偶然提供了最佳工具。W·Ｓ·Ｊerons说，概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。 拉普拉斯称，虽然它(概率论)是从某一低级的赌博开始的，但它却已成为人类知识中最重要的领域。概率论的目的就是从偶然中探求必然的规律，它是机遇的模型，这种模型面对的是自然界中的必然现象和随机现象(我们称之为偶然现象)。

　　三、数学文化的社会观

　　我们将数学作为一种文化来思考，还有一个原因，就是它具有明显的社会化功能：

（1）符号功能符号是数学抽象物的表现形式。

M·克莱因称：“数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。

凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。”

美国数学史家D·Ｊ·斯特洛伊克曾经指出：“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理，而合适的符号，它就带着自己的生命出现，并且它又创造出新生命来。”数学符号的这种奇特性质受到人们的普遍注意。许多数学家都有一种感觉，从符号中得到的东西比输入的更多，它们好像比它们的创造者更聪明。有些符号似乎具备一些神奇的力量，能在其内部传播变革和创造性发展的种子。有些时候，可能仅仅是由于选择到适当的符号，就会导致十分重要的数学成果。

　　（2）模型功能甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的问题。一个数学模型即使导出了与事实不符合的结果，它也还可能是有价值的，因为一个模型的失败可以帮助我们去寻找更好的模型。数学模型的最优之处，就是它扬弃了具体事物中的一切与研究目标无本质联系的各种具体的物质属性，是在一种纯粹状态下的数量、关系的结构，因此更具有普适性。数学学科以外的诸多自然科学和人文、社会科学，只有成功地建立起数学模型，才算得上趋于成熟和完善。国际数学教育委员会将数学教育的研究课题分为15个专题，其中第7个方面的问题是“问题解决，模型化和应用”，他们把解题和构造模型放在一起，称之为当今数学教育发展的三大趋势之一。

　　（3）审美功能数学文化的另一个重要功能是在美学方面，这种功能是鼓舞人们把对数学的追求化为一种对审美的追求。人们期待它的构造在“美学上”的“雅致性”和在叙述问题时的自如性，如果你能自如地叙述问题，把握它和企图解决它，那么某些使人惊奇的探索过程中遇到的曲折会变得容易得多等等。如果推导是冗长的或者复杂的，应该存在某些简单的一般原则，可以用来“说明”复杂性和曲折性，这些标准显然就是对任何创造性艺术所提的标准。

罗素这位数学思想大师就曾这样毫不掩饰地说过：“数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。”[4]

　　（4）数学是推动社会发展的先进生产力.。著名数学家A·Ｋaplan指出：“由于最近20年的进步，社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段……”。在人类社会的发展史上，有三次重大的社会进步是与数学密切相关的。

第一次是牛顿时代的科学革命，牛顿用几个最著名的数学公式去描绘宇宙图景：
　　F=G·ｍ1m2/R2(万有引力)
　　F=ma(牛顿运动定律)
　　还有微积分等。牛顿使科学在社会上取得重要地位，成为18世纪思想启蒙运动的先导者之一。

第二次是达尔文进化论影响了他的表弟哥尔顿发展了相关及回归的概念，孟德尔遗传规律的发现和发展引发了数理统计的建立和发展，今天，统计数学已成为发展的重要工具。

第三次，也是最近的，就是计算机的产生与发展，导致了人类社会的重大变化，人类已由过去的工业经济进入到信息化时代，以致知识经济时代。
　　数学研究现实世界的数量关系和空间形式。数学中的根本矛盾，在于数学从纯粹形态上研究现实形式和关系。数学发展过程中不断出现矛盾又不断解决矛盾。数学本身由于研究变数而进入辩证法的领域。数学在推动可持续发展、实现科技进步最优化、经济发展等方面都有不可替代的作用。美国国家研究委员会所属的数学委员会在一份报告中，曾就数学科学对于经济竞争力的生死攸关性给出了六点说明，以说明数学在技术转移中的作用。

　　四、数学文化的美学观

数学文化的美学观是构成数学文化的重要内容。古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”开普勒也说，“数学是这个世界之美的原型”。对数学文化的审美追求已成为数学得以发展的重要原动力。以致法国诗人诺瓦利也曾高唱：“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”，“既是科学家同时又是艺术家的数学工作者，是大地上唯一的幸运儿。”古往今来，许多数学家、哲学家都把“美”作为决定选题、选题标准和成功标准的一种评价尺度，甚至把“美的考虑”放在高于一切的位置。著名数学家冯·诺伊曼就曾写道：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的。”庞加莱则更明确地说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风，那么，到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。一句话，那就是井然有序、统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。

数学家L•斯思也曾指出：“在数学定理的评价中，审美的标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准；美观与高雅对数学概念的评价来说，比是否严格正确、是否可能应用都重要得多。”显然，这种“美学至上”的观点是片面的。因为，数学的“审美标准”与“实践的标准”事实上是互相联系的，而且，美学的考虑之所以有意义，主要也就因为它能预示相应的研究是否会“富有成果”。

　　审美追求作为数学发展的重要原动力，其中一个主要内容就是创造性的需要，它起着一种激活作用。冯·诺伊曼说：“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受(或近乎不受)经验的影响。”因此，冯·诺伊曼断言：“数学思想一旦……被构思出来，这门科学就开始经历它本身所特有的生命，把它比作创造性的、受几乎一切审美因素支配的学科，就比把它比作别的事物特别是经验科学要更好一些。”可见，审美作为一种支配因素，对数学科学的发展是多么重要。

　　数学美的主要内容一般反映在对称美、简洁美、奇异美等方面。

高等数学发展到今天，数学内容和含意高度抽象深刻，符号也愈益丰富。例如：

∝正比于；
　　甚大于；
　　a≡b(modm)a与b对模m同余(即a-b被m整除)；
　　∮沿正方向闭路积分；
　　一切的、所有的、任意的，对于每一个；
　　存在、至少有一个。

　　当你掌握了这些语言的时候，就会更加体会到数学符号的精炼、准确、简洁，无懈可击，更了解数学美。据说，大数学家高斯有一个思维特点，他的著作力求简洁、清晰、优美。他时常提醒要求自己“把每一种数学讨论压缩成最简洁优美的形式”。 奇异美就是数学文化中的创造性美。培根说：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异!”的确如此。比如说，在数学中， 曲线上的奇点，微分方程的奇解，线性代数中的奇异矩阵，分析中的奇异积分，奇异函数(即广义函数———分布)，复变函数中 的孤立奇点等所带给我们的美学思考，很值得研究。其中不少奇异之处恰好是最值得注意的地方。谈到数学的奇异美，是不能不讲欧拉的e^-2πi=1

　　在这里，我们不能把它简单地看成只是一个公式而已。事实上，只要我们稍微仔细分析，就会发现它的神奇和不可思议。

　　“1”是实数中最基本的单位，有丰富的内涵，它是整数的单位，数字的始祖。是真分数(纯小数)和整数的分水岭。远古人类能抽象出1这个概念的时候，便是数学的真正萌芽。1也可以代表事物的整体，或者各部分的总体，甚至整个宇宙，这就是所谓“浑一”。

　　i是复数的基本单位，它来源于解二次方程x+1=0，长期被人们认为不可捉摸。　π是圆周率。一位德国数学家指出：“在数学史上，许多国家的数学家都找过更精密的圆周率，因此，圆周率的精确度可以作为衡量一个国家数学发展水平的标志。”

　　奇异美是建立在求异思维的基础上的。比如，有理数稍一扩展，新数就被称为“无理”的；实数再一扩展，新数就被叫做“虚”的。实数之后出现“超实数”，复数之后出现“超复数”，有穷数之后又有“超穷数”……

　　和谐是数学美的最高境界。实际上，和谐就是一个度，是一种中庸的最佳状态。比例是关于模数与整体在测量上的协调。比例给人一种和谐，莫过于黄金分割法。　数学所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大；通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了仅把3维空间作为一部分的4维空间、5维空间、……、n维空间。数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿，站在这个无比庄严、宏伟的宫殿前的数学家们，以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、它的美妙，那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是可以被称之为爱因斯坦所谓的“有宇宙宗教性的人”。

　　五、数学文化的创新观

H·Ｈankel说过：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所树立的另一个人要加以摧毁。只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。”数学文化几千年的发展实践已经充分说明了这一点。为什么说数学能够不断建立起新的楼层？数学是一门创造性的学科，一方面它是一种创造性的活动，另一方面它为自然现象提供合理的结构，这是其他学科所望尘莫及的。创新是数学文化发展的强大活力，没有创新，数学就会停滞不前。

　　数学是人类科学文化中的基础性学科之一，它具有典型的学科独立性，不受其他学科的制约，它不像物理、化学、天文等受制于数学，缺少一种独立性。数学的创新特点主要有两个方面：一是原创性(发明和发现)，二是继承性(亦即创造性地去完善)。

　　原创性，是指数学文化在其形成过程中的一些最基本的原理和内容，这些内容不是由其他学科延伸发展过来的，而是由人们在生产实践中直接发明或发现的。这种原创性得到许多著名学者和大师的公认。爱因斯坦在1940年美国科学会议的报告中，甚至这样给物理学下了一个定义：“在我们的全部知识中，那个能够用数学语言表达的部分，就划为物理学的领域。随着科学的进步，物理学的领域扩张到这样的程度，它似乎只为这种方法本身的界限所限制。”我体会，这种方法就是指数学的方法。后来他又讲过：“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学的形式的支配”，理论物理的“创造性原则寓于数学之中。”

　　我们讲数学的原创性特色，是就它的思想源、辐射源而言的。众所周知的欧氏几何的公设、定义、定理都具有典型的原创性。比如关于点、线(直线)、面、圆的定义等就充分反映了这种原创性。这些内容直到今天，人们仍然使用，具有明显的原创性特色。另外，笛卡尔关于坐标的建立，也是一项非凡的创造性工作。笛卡尔认为，数学方法超出他的对象之外。他说：“它是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而他是所有其他知识工具的源泉。”正是由于数学文化的原创性，所以它对其他新兴学科也起到了重要的支撑作用。

　　继承性(创造性地去完善)，与原创性创新相比，继承性创新同样具有不可忽视的作用，特别是对推动科学发展具有重要价值。比如，欧氏几何是原创性的工作，它把数学变成一门不依赖经验主义的纯粹科学。但是，2000多年来，欧氏几何仍然有很多缺陷，甚至是严重缺陷，一直困扰着学术界。直到希尔伯特的《几何基础》1899年出(下接第58页) (上接第57页)版，才从根本上修正了这些缺陷，建立起新的几何学基础。

　　再比如：20世纪中叶的查德创立了模糊集合论，这也是一项原创性的工作。尔后，人们又在此基础上建立了模糊测度，模糊拓扑等。尽管这些工作是继承性的，但它对推动学科发展作用很大。实际上，一门学科的完善、发展，继承性创新工作不可忽视。因为一门学科的完善，特别是作为支撑这门学科的那些关键性理论框架结构、定理、定律、公式、模型等，往往要经过反复推敲、改进、验证，使其越来越清晰、明了、简洁，不仅方便推广和深入人心，同时在科学研究和生产实践中发挥更大作用。像20世纪六七十年代华罗庚教授对优选法的推广就是最好的例证。

　　六、结语
　　从文化的角度去看数学，是一个新问题，因此，本文的一些看法、设想只能是一家之言。不过我相信，一旦你踏进数学文化的门槛，就会惊奇地发现这是一个美仑美奂的奇异世界。而本文所提及的一些东西还只是隔岸观火的皮毛，相信随着人们对数学文化的深入研究，一定会呈现给人类一个更加精彩的世界。

　　[1]编译 爱因斯坦文集 商务印书馆，1976：1362
        [2王梓坤。面向21世纪的中国数学教育。南京：江苏教育出版社，1994：343
　　[3斯蒂恩主编。今日数学。上海科学技术出版社，1982：384
        [4邓东皋等编。数学与文化。北京大学出版社，1990：41
　　(该文发自《自然》杂志2001年第1期，《新华文摘》转发内容摘要)  (2003-06-26)